La inducción matemática en los números naturales. (Una pequeña introducción a la técnica)

El principio de inducción para los números naturales podría enunciarse así:

Si empezáramos en el 1 y contáramos de uno en uno, entonces recorreríamos todos los números naturales.

Esto es muy claro para todos. Lo que es útil es poderlo traducir a un planteamiento matemático que se pueda usar para demostrar propiedades de estos números. La dificultad (o lo que se tiene que hacer) se centra en poder decir que significa la frase contar de uno en uno. Notemos que podemos traducir el enunciado así:

Si somos capaces de empezar en el 1 y podemos saltar de cualquier número al siguiente, entonces seremos capaces de llegar a cualquier número natural.

Analicemos un poco el enunciado. Dice que podemos empezar en el 1 y que podemos saltar de cualquier número al siguiente. Ya estando en el 1, el enunciado nos dice que podemos saltar al 2, ya que estamos en el 2, podemos saltar al 3, ya que estamos en el 3, podemos saltar al 4, etc. De esta manera es que llegamos a cualquier número.

Ahora vamos a enunciar la inducción de forma matemática más precisa:

Consideremos una porpiedad P(n) definida para todos los números naturales. Si podemos comprobar que:

• P(1) es cierta y,
• suponiendo, que P(n) es cierta podemos dar la manera de comprobar que P(n+1) también es cierta, 

Entonces P es una propiedad que es cierta para todos los números naturales.