Hace mucho tiempo había un alumno llamado Carl Gauss. El era muy bueno en la escuela, especialmente en matemáticas. Siempre acaba los ejercicios muy rápido y su profesor se enojaba de que terminaba demasiado rápido y distraía a sus compañeros cuando terminaba. Un día el profesor, muy enojado, le dijo a Gauss que sumara los números del 1 al 100 pensando en que le tomaría toda la clase y así mantenerlo ocupado. Al poco rato Gauss le dijo a su profesor: 5050. El profesor no creía que esa fuera la respuesta correcta, era imposible obtenerla tan rápido. Para su sorpresa, comprobó (él sí tardándose mucho en hacerlo) que la respuesta era correcta.
Lo que hizo Gauss para obtener la respuesta no fue sumar los número uno por uno, esto le hubiera tomado mucho más tiempo. Él acomodo los números de esta forma:
1 + 2 + 3 +...+ 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 +...+ 3 + 2 + 1
Veamos que aquí si sumamos verticalmente cada pareja de números vamos a obtener como resultado 101. (100+1=101, 99+2=101, 98+3=101, ...) Y va a haber 100 de esos 101's ya que tenemos 100 números del 1 al 100. Entonces el resultado de la suma de las dos sumas (la de arriba y la de abajo) va a ser 101*100= 10100. Pero veamos que las sumas son exactamente la mismas solo que escritas al revés, esto significa que una solo suma es la mitad de 10100, o sea 5050. Por lo tanto la suma de los números del 1 al 100 es 5050. Así es como Gauss obtuvo el resultado tan rápido.
Ahora la suma de Gauss no solo se puede hacer del 1 al 100, se puede hacer hasta el número que queramos. Para ello obtenemos la fórmula general de la suma de los números del 1 al n:
n(n+1)/2.
Veamos que en el caso de 100, sustituyendo n=100 obtenemos justo lo que teníamos: 100*101/2 = 5050.
Ahora está fórmula la podemos demostrar con el principio de inducción, de hecho ésta es de las fórmulas más usadas para explicar la técnica de inducción puesto que el paso inductivo no es muy complicado.
La propiedad que P(n) que vamos a demostrar en este caso es: la suma de todos los naturales del 1 al n da como resultado n(n+1)/2. Es decir P(n)=n(n+1)/2.
Entonces primero veamos que P(1) es cierta, o sea que la suma de los números del 1 al 1, o sea 1, es igual a 1(1+1)/2.
Lo anterior es muy obvio ya que 1*(1+1)/2= 1*2/2= 1. Entonces P(1) sí es verdadera.
Ahora tenemos que demostrar que suponiendo que P(n) es verdadera entonces P(n+1) también lo es.
Lo anterior se traduce a demostrar que 1+2+3+...+ n + (n+1) = (n+1)((n+1)+1)/2 = (n+1)(n+2)/2
Pero 1+2+3+...+ n + (n+1) lo podemos separar en (1+2+3+...+n) + (n+1). Aquí podemos usar la hipótesis de que P(n) es verdadera, o sea 1+2+3+...+n = n(n+1)/2. Entonces sustituyendo en la suma original vamos a tener que lo que queremos demostrar es la siguiente igualdad:
n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2. Para ello podemos multiplicar todo por 2 y nos queda;
n(n+1) + 2(n+1) = (n+1)(n+2), luego factorizamos (n+1) del lado izquierdo y nos va a quedar justamente (n+1)(n+2) que es lo que tenemos del lado derecho. Lo anterior significa que la propiedad P(n+1) es cierta y por lo tanto habremos acabado la demostración por inducción.
De esta manera es como se demuestran fórmulas de ese tipo con la inducción matemática y llega a ser muy útil a la hora de demostraciones porque es una forma muy sencilla y muchas veces más rápida que demostraciones que requieren muchas más operaciones algebraicas donde es muy fácil cometer errores.
